После окончания Пермского медицинского института работал врачом в с.Кичма Советского района. В эти годы многие его стихи печатались в областных газетах, коллективных сборниках Перми и Кирова. Первая книга "Приволье" вышла в 1972г. в Перми. В 1976 г. окончил Литературный институт им. М. Горького. Член Союза писателей России. С родным краем поэт поддерживает самые тесные связи. Живет в Перми.

В 2016 году, по итогам XIX областного конкурса «Вятская книга года — 2016», в номинации «Лучшее художественное издание. Поэзия», лучшей стала книга Анатолия Гребнева «Русь, Россия, отрада моя». В 2014 году на аналогичном конкурсе лучшей стала книга поэта «Сокровенного слова сиянье»

В 2013 году книга стихов Анатолия Гребнева «Любовью воздам за любовь» стала победителем областной выставки «Вятская книга года» в номинации «Лучшее художественное издание». Также за эту книгу Анатолий Григорьевич был признан поэтом года.

Осенью 2012 года в селе Чистополье состоялось открытие «Дома деревенского детства» - дома поэта Анатолия Гребнева. «Дом» должен стать местом, куда будут приезжать художники, писатели, поэты, в нем можно проводить культурные мероприятия, мастер-классы, уроки. Вообще, считается, что чистопольский воздух оказывает благотворное влияние на всех творческих людей. Гребнев говорит: «В Чистополье не небо, а НЕБЕСА». В «Дом» Гребнев из Перми привез очень много книг, некоторые из них с автографами авторов: Астафьева, Белова, Курбатова, Крупина, многих других. Интересно, что таких раритетов нет даже в коллекции Герценки.